四色猜想的简化证明
陈晓明
2019-02-22
问题
四色猜想的内容是：“平面上任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”。
即：“平面上任何一张地图中具有共同边界的国家最少能用4个颜色来间分（间隔及区分）”。
证明
地图上的每一个国家的图形都是平面上有限的任意形状及任意大小且封闭的图形（图A, 图B）。
设某张地图上有Ｑ个国家，可用A组C1、C2及B组C3、C4的4个颜色来间分。
1、先将平面上地图中的Ｑ个国家设为“形状不同且紧密相联”的Ｑ个“国家点”，根据拓扑学原理，将地图上所有的“国家点”都变换成“矩形”。
根据拓扑学原理，将地图上的“国家点”以地图上西边界左端点的某1个“国家点”为起点，沿南边界向东、至东边界右端点的某1个“国家点”为终点，将其变换成“国家点”与“国家点”“前后紧密相连”的“国家线”N1；再如此将地图上的“国家点”以地图上西边界左端点的某1个“国家点”为起点，沿“国家线”N1向东、至东边界右端点的某1个“国家点”为终点，将其变换成“国家点”与“国家点”“前后紧密相连”的“国家线”N2，且使“国家线”N2将“国家线”N1与未变换的国家点间隔（图1）。
从地图的南边界起从下向上如此依次连续变换至北边界，将地图上Ｑ个“国家点”全部都变换至完成，可得N条“国家点”之数量相同或不相同的“国家线”，每条“国家线”上有M个“国家点”，且“每1个“国家点”只与2个相邻“国家点”“前后紧密相联”。
2、将所得的全部“国家线”从南边界的“国家线”起至北边界的“国家线”止，依次展开且沿Y轴排列，分别可得依次为N1至Nn的计N条“国家线”，每条“国家线”上的每1个“国家点”只与2个相邻“国家点”“前后紧密相联”，且每条“国家线”上分别有依次为1至m的计M个“国家点”，即：Nn“国家线”上有Mn个“国家点”（图2）；“国家点”的数量Ｑ=SUM(M1+M2+M3+…+Mn)。
3、设将N1“国家线”上1、3、5…等奇数序号的“国家点”用颜色C1标示，2、4、6…等偶数序号的“国家点”用颜色C2标示，所以用颜色间分“国家线”上的“国家点”最小颜色数是2，即：“最少能用2个颜色间分”“国家线”上的“国家点”（图3）。
4、先将N1“国家线”上的M1个“国家点”分别用A组C1、C2的2个颜色标示（间分），再将N2“国家线”上的M2个“国家点”分别用B组C3、C4的2个颜色标示（间分）；即N1“国家线”上1、3、5…等奇数序号的“国家点”用颜色C1标示（间分），2、4、6…等偶数序号的“国家点”用颜色C2标示（间分），N2“国家线”上1、3、5…等奇数序号的“国家点”用颜色C3标示（间分），2、4、6…等偶数序号的“国家点”用颜色C4标示（间分）（图4）。
5、因为N2“国家线”间隔于N1“国家线”与N3“国家线”之间，所以N3“国家线”上的“国家点”可分别再用A组C1、C2的2个颜色间分，同理依次将N4“国家线”上的“国家点”分别再用B组C3、C4的2个颜色间分……，直至N条“国家线”标示（间分）完成；即将奇数序号的“国家线”用A组颜色C1、C2间分，将偶数序号的“国家线”用B组颜色C3、C4间分至完成（图5）。
至此，地图上数量为Ｑ=SUM(M1+M2+M3+…+Mn)的所有“国家点” 标示（间分）完成。即：“最少能用4个颜色C1、C2、C3、C4标示（间分）地图上的Ｑ个国家”。
6、∵因为：由M个“国家点”“前后紧密相联”所构成的N条“国家线”，且沿Y轴线由N1至Nn依次紧密相联，此N条“国家线” 上的Ｑ个“国家点”则等同于全幅完整地图，∴所以：“平面上任何一张地图的Ｑ个国家中，具有共同边界的国家最少能用4个颜色C1、C2、C3、C4来间分”。
7、特殊情况：
分别设N2和N3“国家线”上“国家点”的数量为1，N2“国家线”上的“国家点”为Q2，N3“国家线”上的“国家点”为Q3，Q2“国家点”与N1“国家线”上的Qm“国家点”相邻，当Qm“国家点”和Q3“国家点”是同个国家时， Q2“国家点”即是国中之国（如梵蒂冈）。
所以：“平面上任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”。
四色猜想证明完毕。
附图2页。
